Archives

gravatar

Tanım Bulmaca

Önce bulmacamızın cevaplarını verelim.
CEVAPLAR:
1)AÇIORTAY
2)ÇOKGEN
3)MUTLAKDEĞER
4)KOMŞUAÇI
5)ALTIGEN
6)PARALELKENAR
7)PARALEL
8)AÇI
9)BÜTÜNLERAÇI
10)ORTADİKME
11)ÖRÜNTÜ
12)EŞKENARDÖRTGEN
13)TERSAÇI

14)DİKDÖRTGEN
15)BEŞGEN
16)YAMUK
17)KARE
18)TÜMLERAÇI


Devamı Burada!!!
gravatar

Pi Sayısı

Pi nedir? 
Bulmacalarda matematikte sabit bir sayı olarak geçen ;matematikte irrasyonel bir sayı olan pi sayısı hakkında bildiklerimizi paylaşalım.

Kime göre Pi sayısı Nedir?
Matematikçi: "Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır."
Bilgisayar Programcısı: "Pi 3,14159265389 dur"
Fizikçi: "3,14159artı eksi 0,000005'tir"
Mühendis: "Yaklaşık 22/7'dir"

 Yukarıda anlatılanların hepsi doğrudur.Hepsi de pi sayısının değişik alanlarda kabul edilen yaklaşık değerleridir.Ben bir matematikçi olarak her yıl ilköğretim 7.sınıf öğrencilerine çember ve daire konusuna geçtiğimde pi sayısının ortaya çıkış sebebini açıklarken sayının dairenin çevresinin çapına oranı olduğunu anlatan etkinliği sınıfta yaparım.Etkinliğin özeti şöyle:


MALZEMELER: 
1)30cm.lik bir cetvel. 
2)Toplu iğne 
3)Pergel 
4)Karton 

Öncelikle yarıçapını kendinizin seçip belirleyeceği bir daireyi pergel kullanarak kartona çizip kesin. (Örneğin yarıçapını 4 cm seçin) Merkezini belirleyin.Daha sonra bu dairenin yayı üzerinde bir A noktası işaretleyin.Bu A noktası cetvelin başlangıç noktası ile üst üste gelecek şekilde dairenizi cetvel üzerine yerleştirin.Merkezine bir toplu iğne veya buna benzer kürdan v.b. geçirin.Daha sonra dairenizi kaydırmadan merkezden hareket ettirin.Daireniz hareket ettiğinde A noktası da haliyle hareket etmiş olacak ve biraz yol aldıktan sonra cetvel ile tekrar temas edecek.İşte A noktası cetvel ile temas ettiğinde aslında daire çevresini dolanmış oluyor.Bu mesafeyi cetvel üzerinde ölçüyoruz.Bu değeri dairenin çapı olan sayıya böldüğümüzde yaklaşık olarak Pi Sayısı karşımıza geliyor. Yani  Pi = Çevre / Çap




 Aşağıdaki resimde yapılan etkinliğin hızlandırılmış halini görmektesiniz.Selamlar.


Hazırlayan:Zafer GÜVEN


Devamı Burada!!!
gravatar

Pisagor Bağıntısı ve Özellikleri

M.Ö. 570 - M.Ö. 495 tarihleri arasında yaşamış olan İyonyalı filozof (Pythagoras) Pisagor'un bulmuş olduğu ,dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi anlatan bir kuraldır.Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi, diğer dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. Bu bağıntıya (Pythagoras) Pisagor Bağıntısı denir.Hipotenüs 90 derecenin karşısındaki kenardır. 90 derecelik açıyı oluşturan kenarlar da dik kenarlardır.
Resim

Pisagor Bağıntısını Sağlayan Kenar Uzunlukları Rasyonel Sayı Olan Bazı Özel Dik Üçgenler:
1) 3 - 4 - 5 DİK ÜÇGENİ:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 3'ün , 4'ün katları ise, hipotenüsü de 5'in katıdır.Bu dik üçgenin kenar uzunluklarının genişletilmiş halleri de Pisago Bağıntısı'nı sağlar.
ÖR: 6 - 8 -10 , 9 -12 - 15 , 12 - 16 - 20 v.b.
Resim

2) 5 - 12 - 13 DİK ÜÇGENİ:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 5'in , 12'nin katları ise, hipotenüsü de 13'ün katıdır.

3) 8 - 15 - 17 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 8'in , 15'in katları ise, hipotenüsü de 17'nin katıdır.

4) 7 - 24 - 25 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 7'in , 24'in katları ise, hipotenüsü de 25'in katıdır.

5) 11 - 60 - 61 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 11'in , 60'ın katları ise, hipotenüsü de 61'in katıdır.

6) 9 - 40 - 41 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 9'in , 40 ın katları ise, hipotenüsü de 41'in katıdır.

7) 13 - 84 - 85 DİK ÜÇGENİ
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 13'ün , 84'in katları ise, hipotenüsü de 85'in katıdır.

PİSAGOR BAĞINTISININ ÖZELLİKLERİ:

1)Kare ve dikdörtgenin köşegenleri, eşkenar ve ikizkenar üçgen yüksekliği bu bağıntıyla bulunur.
2) 30-60-90 derecelik açılara sahip dik üçgenlerde Pisagor Bağıntısı kullanılır.
Resim
3) 45-45-90 derecelik açılara sahip dik üçgenlerde Pisagor Bağıntısı kullanılır.
Resim

Pisagor Bağıntısının Kullanıldığı Alanlar:
Pisagorculuk; evrende her şeyin bir sayıya bağlı olduğunu öne sürer. Örnek vermek gerekirse % rengin, 6 soğuğun, 7 sağlığın, 8 aşkın nedenidir Pisagora göre.Pisagorun öğretisinde; düzgün geometrik şekiller de önem taşır. Örneğin Pisagor yeryüzünün düzgün altı yüzlüden, ateşin piramitten, havanın düzgün sekizyüzlüden, suyun yirmiyüzlüden yaratıldığına inanır. Pisagorcuların sayılara ve şekillere verdikleri gizemci anlamlar bu kişilerin sayıları ve geometrik şekilleri yakından incelemesine de neden oldu doğal olarak. Bunlar arasında en önemlileri Pisagor Teoremi ile İrrasyonel Sayının bulunmasıdır.Pisagor, müzikle de uğraştı. Telin kısaltılmasıyla çıkardığı sesin inceldiğini keşfetti. İki telden birinin uzunluğu diğerinin iki katı ise, kısa telin çıkardığı ses, uzun telin çıkardığı sesin bir oktav üstündeydi. Eğer tellerin uzunluklarının oranı 3ün 2ye oranı gibiyse, iki telin çıkardığı sesler beşli aralıklı idi. Bu nedenle örneğin bağlamada parmağımızı tellerden birinin ortasına bastığımız zaman, teli titreştirirsek çıkacak olan ses, tel boş titreşirken çıkacak sesin bir oktav üstünde olacaktır. Benzer şekilde eğer parmağımız teli uzunluk 2/3 oranında bölen noktadaysa, telin boş durumuna oranla bir beşli aralık yukarda ses çıkacaktır Pisagora göre.
Pisagor Astronomi ile de uğraşmıştır Pisagor; sabah yıldızı ile akşam yıldızının aynı yıldız olduğunu anlayan ilk Yunanlıdır. Kendisinden sonra bu yıldız uzun süre Afrodit ile anıldı. Bugün bunun Venüs Gezegeni olduğunu bilyoruz. Pisagor, gerek dayandığı öğrenci kitlesi gerekse öğretisinin içerdiği temel öğeler bakımından soylulara yatkın bir felsefeciydi. Pisagorun ölümünden 10 yıl kadar önce, Güney İtalyada demokratların egemenlik kurmasıyla Pisagorculuk ve Pisagorculuk yaygın bir şekilde kovuşturmaya uğradı.


Devamı Burada!!!
gravatar

Fibonacci Sayıları

Fibonacci dizisi sayıları ,İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (D.1170-Ö.1250) tarafından keşfedilmiş,terimleri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … vb. olan sayı dizisidir. Bu sayılar birbirleriyle oranlandığında altın oran ortaya çıkar.Bu sayı dizisinin ortaya çıkmasına sebep olarak bir problem gösterilir.

Liber Abaci adlı eserde yer alan problemin metni aşağı yukarı şöyle;

"Adamın biri, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği var sayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?"

Problemin çözümü 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... olarak karşımıza çıkar.Çünkü ilk başta 1 çift tavşan var.İkinci ay yine 1 çift tavşan (aynı tavşanlar) olur.Çünkü yavru iken ergen oldular.Sonra 3.ay yavruladılar ve toplamda 2 çift tavşan oldu.(bir çift ergin,bir çift yavru).4.ay 1 çift erginden 1 çift yavru meydan geldi.1 çift yavrumuz ergin oldu.Toplamda 3 çift tavşan oldu.Bu şekilde devam edildiğinde karşımıza Fibonacci sayı dizisi çıkmış oluyor.Sanırım 100.ayda 354.224.848.179.261.915.075 çift tavşan oluyordu. :)

Bu da şekilli anlatımı:
Resim
yada
Resim

FİBONACCİ SAYI DİZİSİNİN ÖZELLİKLERİ ve KARŞILAŞILAN YERLER:

1)Her bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.
ÖR:1+1=2 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 ......... 89+144=233 gibi.

2)Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

3) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.
Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

4)Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir.

5) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş'ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez'i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

6) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

7) Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.

HAZIRLAYAN:Zafer GÜVEN


Devamı Burada!!!
gravatar

Pascal Üçgeni (Ömer Hayyam Üçgeni)Nedir?Nerelerde Kullanılır

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.Pascal üçgeni denilse de asıl bulan kişi Ömer Hayyam'dır.
Resim

Pascal Üçgeninin Özellikleri
1)Pascal üçgeninde her satırın başında ve sonunda 1 sayısı yer alır.
2)Bir alt satırda ortada yer alan sayı bir üst satırdaki yan yana iki sayının toplamıdır.
Resim
3)Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler aynıdır.
Örneğin; 1 5 10 10 5 1 satırında baştan 2.terim ve sondan 2.terim aynı sayı yani 5 tir.
4)Pascal üçgenindeki katsayılar Binom Açılımı denilen iki terimlilerin toplamının yada farkının kuvvetlerini {(a+b)n veya (a-b)n} bulurken ortaya çıkan katsayıları belirlemeye yarar.
5)Pascal Üçgeninde değişik sayı dizileri görülür.
a)Yukarıdan başlayarak çapraz bir şekilde terimler toplamına bakıldığında Fibonacci Dizisi'nin terimleri elde edilir.
Resim
b)Yine çapraz bakıldığında Ardışık Sayılar Dizisi ve Üçgensel Sayılar Dizisi göze çarpar.
Resim
Resimde turuncu çapraz sayı dizisi ardışık sayılar,yeşil çapraz sayı dizisi ise üçgensel sayılar dizisidir.
6)Aynı yöndeki sayıların toplamı en sonda yer alan sayın ters yönünde bulunan sayıya eşittir.
Resim
7)Her satırda yer alan sayıların toplamı 2 sayısının kuvvetlerini verir.Bunu formül olarak 2 üssü n-1 şeklinde ifade edebiliriz.
Örneğin;
1.satır için ; 1 ------ 2 üssü 0 = 1
2.satır için ; 1 + 1 = 2 ----- 2 üssü 1 = 2
3.satır için ; 1 + 2 + 1 = 4 -------- 2 üssü 2 = 4
4.satır için ; 1 + 3 + 3 +1 = 8 ------- 2 üssü 3 = 8
5.satır için ; 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ------ 2 üssü 4 = 16

Zoom in (real dimensions: 571 x 561)Resim
Resim

HAZIRLAYAN:Zafer GÜVEN


Devamı Burada!!!